Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形， , 平面底面，且是邊長為的等邊三角形， ， 是 中點．

(1)求證：平面平面；

(2)證明： ， 且與的面積相等.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）由正三角形性質得PM⊥AD，再根據面面垂直性質定理得PM⊥底面ABCD，即得PM⊥BM，利用勾股定理得BM⊥AD，最后根據線面垂直判定定理得BM⊥平面PAD，由面面垂直判定定理得結論（2）利用余弦定理求兩角余弦值，結合余弦函數單調性確定兩角大小，根據三角形面積公式計算面積，可證相等

試題解析： 解：(1) △PAD是邊長為2的等邊三角形, M是AD中點

PM⊥AD, PM平面PAD

又平面PAD⊥底面ABCD PM⊥底面ABCD

平面PAD∩底面ABCD=AD

又BM底面ABCD, PM⊥BM, △PMB是直角三角形

在等邊△PAD中，PM=，又PB=， MB=

∠BAD=60○, 在△ABM中, 由余弦定理：MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○

得：AB2 - AB -2=0, 即AB=2， △ABD也是等邊三角形，

BM⊥AD

平面PAD∩底面ABCD=AD BM⊥平面PAD

BM底面ABCD BM平面PMB 平面PMB⊥平面PAD

（Ⅱ）由（Ⅰ）知底面ABCD是菱形. 連接CM, 在△DMC中，∠MDC=120○,

由余弦定理：MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2×=7

得： MC=， 在直角形△PMC中， ：PC2 =PM2+MC2=

在△PDC中，由余弦定理：

在△PAB中，由余弦定理：

, ，余弦函數在是減函數

∠PDC >∠PAB，

而，

，即△PDC與△PAB面積相等.

(注：沒有通過計算出面積，能夠說明面積相等原因的，仍然是滿分)