Question

【題目】已知橢圓： 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為， 的坐標(biāo)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 軸.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由的坐標(biāo)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 軸，得，解得的值即可得橢圓的方程；（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M（x0，y0），當(dāng)斜率不存在，推出矛盾不成立，設(shè)直線l的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)關(guān)系，利用平行四邊形的對(duì)角線相互平分的性質(zhì)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入橢圓方程解得即可．

試題解析：

（1），解得.所以橢圓的方程.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)，

當(dāng)斜率不存在，，，不成立；

當(dāng)斜率存在，設(shè)為，設(shè)直線與聯(lián)立得.

.

，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為

AB與的中點(diǎn)重合，

得 ，

代入橢圓的方程得.解得.

存在符合條件的直線的方程為：.