Question

【題目】已知橢圓（）的左、右焦點分別為、，設點，在中， ，周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設不經過點的直線與橢圓相交于、兩點，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；

（3）記第（2）問所求的定點為，點為橢圓上的一個動點，試根據面積的不同取值范圍，討論存在的個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)由題意布列關于的方程組，從而得到橢圓方程；(2) 設直線方程： ，聯立方程可得： ，利用根與系數的關系及，得到過定點.（3）設直線與橢圓相切， ，兩切線到的距離分別為，根據面積的不同取值范圍，討論存在的個數.

試題解析：

（1）由得： ，所以………①

又周長為，所以………②

解①②方程組，得

所以橢圓方程為

（2）設直線方程： ，交點

依題： 即：

過定點.

（3），

設直線與橢圓相切，

得兩切線到的距離分別為

當時， 個數為0個

當時， 個數為1個

當時， 個數為2個

當時， 個數為3個

當時， 個數為4個