Question

已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2

3

，高為3，球O是正四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球，則球O的表面積為（　　）

• A、16π
• B、32π
• C、4π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：運(yùn)用分割思想，連接OP，OA，OB，OC，OD，得到四個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐，由大的四棱錐的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和一個(gè)小的四棱錐的體積之和，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，求出斜高，即可求出球的半徑r，從而得到球的表面積．

解答： 解：設(shè)球的半徑為r，
連接OP，OA，OB，OC，OD，得到四個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐
它們的高均為r，
則V_P-ABCD=V_O-PAB+V_O-PAD+V_O-PBC+V_O-PCD+V_O-ABCD
即

1

3

×3×（2

3

）2=

1

3

r（4×S_△PBC+12），
由四棱錐的高和斜高，及斜高在底面的射影構(gòu)成的直角三角形得到，
斜高為

32+( 3 )2

=2

3

∴S_△PBC=

1

2

×（2

3

）2=6，
∴r=

3×12

4×6+12

=1，
則球的表面積為4π．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查球與正四棱錐的關(guān)系，通過分割，運(yùn)用體積轉(zhuǎn)換的思想，是解決本題的關(guān)鍵．