Question

【題目】已知：函數，數列對，總有；

（1）求的通項公式；

（2）設是數列的前項和，且，求的取值范圍；

（3）若數列滿足：①為的子數列（即中每一項都是的項，且按在中的順序排列）；②為無窮等比數列，它的各項和為，這樣的數列是否存在？若存在，求出所有符合條件的數列.寫出它的通項公式，并證明你的結論；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）存在，或.

【解析】

（1）可證為等差數列，從而可求其通項.

（2）先求出，再求出，化簡后利用基本極限可得所求的極限（與有關），解關于的不等式后可得所求的范圍.

（3）先證明無窮等比數列的公比為且為奇數，再就分類討論可求的通項.

（1）因為，故即，所以為等差數列，

故即.

（2），

所以

，

因為，所以，

所以即，

所以的取值范圍為.

（3）設的公比為且為互素的奇數，，

則對于任意，總有，

所以，

若，因為互素，有因數，但為有限數，矛盾， 故.

故公比.

當時，無窮等比數列的各項之和為，故，

此時.

當時，無窮等比數列的各項之和為，故（舍）.

當時，無窮等比數列的各項之和為，故.

此時.

當時，無窮等比數列的各項之和為，故,

所以，

若，則無窮等比數列的各項之和為，舍；

若，則無窮等比數列的各項之和為，舍.

綜上，所求的無窮等比數列的通項為后.