Question

【題目】如圖，已知直線：和直線：，射線的一個法向量為，點為坐標原點，且，直線和之間的距離為2，點，分別是直線和上的動點，，于點，于點.

（1）若，求的值；

（2）若，，且，試求的最小值；

（3）若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2）最小值為（3）32

【解析】

（1）由，求得，，進而求得的值；

（2）當，，可得，當且僅當取點時，取最小值；

（3）由，利用柯西不等式可得，得解.

解：（1）由，所以射線的一個法向量為，

所以射線的斜率為1，即射線的方程為：，

所以,,

所以,

直線：，,

所以,

故；

（2）當，直線：和直線：，如圖所示，作出點關于

直線的對稱點,則,

設，所以 ，

同理：由對稱性可得：當且僅當取點時，取最小值，

故的最小值為；

（3）由題意有，，直線與之間的距離為2，

所以，即，

設，，

因為，所以，

又，即，

所以，

又，

所以，

故的最大值為32.