Question

已知離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M(

6

，1)
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點（1，0）作斜率為2直線l與橢圓相交于A，B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）離心率為

2

2

，得橢圓方程為x²+2y²=2c²，把點M(

6

，1)代入，能求出橢圓方程．
（2）直線l：y=2x-2，聯(lián)立

x2+2y2=8 y=2x-2

，得9x²-16x=0，由此利用橢圓弦長公式能求出|AB|的長．

解答： 解：（1）∵離心率為

2

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點M(

6

，1)，
∴e=

2

2

，∴a=

2

c，b=c，…（2分）
∴橢圓方程為x²+2y²=2c²，
把點M(

6

，1)代入，得6+2=2c²，…（4分）
解得c²=4，…（5分）
∴橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．…（6分）
（2）∵過點（1，0）作斜率為2直線l，
∴直線l：y=2x-2，
聯(lián)立

x2+2y2=8 y=2x-2

，整理，得9x²-16x=0…（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

16

9

，x1•x2=0…（10分）
∴|AB|=

1+22

|x1-x2|=

16

9

5

．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．