Question

已知一個袋中裝有3個白球和3個紅球，這些球除顏色外完全相同．
（1）每次從袋中取一個球，取出后不放回，直到取到一個紅球為止，求取球次數ξ的分布列，數學期望E（ξ）和方差D（ξ）．
（2）每次從袋中取一個球，取出后放回接著再取一個球，這樣取3次，求取出紅球次數η的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統計

分析：（1）取到1個紅球為止，這是目標，那么取球次數ξ的最小值為1，最大值為4，求出對應值的概率，由此能求出取球次數ξ的分布列，數學期望E（ξ）和方差D（ξ）．
（2）取出后放回，這是條件，所以每一次取到紅球隊的概率相同，這就相當于做了三次獨立重復試驗．由此得到取出紅球次數η～B（3，

1

2

），從而能求出E（η）．

解答： 解：（1）由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，
P（ξ=1）=

3

6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

A 1 3 A 1 3

A 2 6

=

3×3

6×5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

A 2 3 A 1 3

A 3 6

=

3×2×3

6×5×4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

A 3 3 A 1 3

A 4 6

=

3×2×3

6×5×4×3

=

1

20

，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

E（ξ）=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4×

1

20

=

7

4

，
D（ξ）=(1-

7

4

)2•

1

2

+（2-

7

4

）²×

3

10

+（3-

7

4

）²×

3

20

+（4-

7

4

）²×

1

20

=

63

80

．
（2）取出后放回，取球3次相當于3次獨立重復試驗，
∴取出紅球次數η～B（3，

1

2

），
∴E（η）=3×

1

2

=

3

2

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、數學期望、方差的求法，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．