Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（Ⅰ）求證：{lga_n}是等差數列；
（Ⅱ）設T_n是數列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n項和，求T_n；
（Ⅲ）求使T_n＞

1

4

（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立的整數m的取值集合．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）根據等差數列的定義即可證明{lga_n}是等差數列；
（Ⅱ）求出{

3

(lgan)(lgan+1)

}的通項公式，利用裂項法即可求T_n；
（Ⅲ）直接解不等式即可得到結論．

解答： 解：（I）∵a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
∴當n=1時，a₂=9a₁+10=100，
故

a2

a1

=10，
當n≥1時，a_n+1=9S_n+10  ①，
a_n+2=9S_n+1+10  ②，
兩式相減得a_n+2-a_n+1=9a_n+1，
即a_n+2=10a_n+1，
即

an+2

an+1

=10，
即{a_n}是首項a₁=10，公比q=10的等比數列，
則數列{a_n}的通項公式an=10•10n-1=10n；
則lga_n=lg10ⁿ=n，
則lga_n-lga_n-1=n-（n-1）=1，為常數，
即{lga_n}是等差數列；
（Ⅱ）∵lga_n=n，則

3

(lgan)(lgan+1)

=

3

n(n+1)

=3（

1

n

-

1

n+1

），
則T_n=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=3（1-

1

n+1

）=3-

3

n+1

，
（Ⅲ）∵T_n=3-

3

n+1

≥T₁=

3

2

，
∴要使T_n＞

1

4

（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立，
則

3

2

＞

1

4

（m²-5m）對所有的n∈N^*恒成立，
解得-1＜m＜6，
故整數m的取值集合{0，1，2，3，4，5}．

點評：本題主要考查等差數列的判斷，利用裂項法求和，考查學生的運算能力．