Question

【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調區間.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，函數的增區間是（0,1），減區間是；當時，函數的增區間是和，減區間是；當時，函數增區間是，沒有減區間；當時，函數的增區間是（0,1）和，減區間是.

【解析】

（1）求導，根據導數的幾何意義，寫出切線方程的點斜式方程，整理化簡即可；

（2）求導，根據參數對導數正負的影響對參數進行分類討論，求得對應的單調性和單調區間.

（1）若，，導函數為.

依題意，有，

則切線方程為，

即.

（2），

①當時，，由，得，

則函數的增區間是（0,1），減區間是；

②當時，由，得，

再討論兩根的大小關系；

⒈當時，，由，得或者，

則函數的增區間是和，減區間是；

⒉當時，，

則函數的增區間是，沒有減區間；

⒊當時，，由，得或者，

則函數的增區間是（0,1）和，減區間是；

綜上，當時，函數的增區間是（0,1），減區間是；

當時，函數的增區間是和，減區間是；

當時，函數增區間是，沒有減區間；

當時，函數的增區間是（0,1）和，減區間是.