Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的最小值；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）當時，設函數，若存在區間，使得函數在上的值域為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）求，當時，求出的解，進而得到單調區間，求出極小值，最小值；

（2）求出的根，對分類討論，求出的解，即可得出結論；

（3）求出，得到在單調區間，求出在的最值，轉化為在上至少有兩個不同的根，分離參數得到，求出與函數圖象至少有兩交點時，的取值范圍.

（1），

當時，，

，

單調遞減區間為，單調遞增區間為，

時，取得極小值，也是最小值，

的最小值為；

（2）當時，，

令或，

若時，恒成立，函數單調遞減區間是，

若時，，當或時，，

當時，，

即函數遞減區間是，遞增區間是，

若時，，當或時，，

當時，，

即函數遞減區間是，遞增區間是，

綜上，若時，函數的遞減區間是，無遞增區間

若時，函數的遞減區間是，遞增區間是，

若時，函數的遞減區間是，遞增區間是；

（3）當時，設函數，

則，設，

當時，為增函數，

在為增函數，

在區間上遞增，

函數在上的值域為，

，

在上至少有兩個不同的根，

即，令，

，令，

則恒成立，

在遞增，，

當時，，

當時，，

所以在單調遞減，在單調遞增，

當，

，

即實數的取值范圍是