Question

【題目】已知x∈R，[x]表示不超過x的最大整數，若函數 有且僅有3個零點，則實數a的取值范圍是．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由 得 =2a， ①若x＞0，設g（x）= ，
則當0＜x＜1，[x]=0，此時g（x）=0，
當1≤x＜2，[x]=1，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
當2≤x＜3，[x]=2，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
當3≤x＜4，[x]=3，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
當4≤x＜5，[x]=4，此時g（x）= ，此時 ＜g（x）≤1，
作出函數g（x）的圖象，
要使 有且僅有三個零點，
即函數g（x）=2a有且僅有三個零點，
則由圖象可知 ＜a≤ ，
②若x＜0，設g（x）= ，
則當﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，此時g（x）=﹣ ，此時g（x）≥1，
當﹣2≤x＜﹣1，[x]=﹣2，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜2，
當﹣3≤x＜﹣2，[x]=﹣3，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜ ，
當﹣4≤x＜﹣3，[x]=﹣4，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜ ，
當﹣5≤x＜﹣4，[x]=﹣5，此時g（x）=﹣ ，此時1≤g（x）＜ ，
作出函數g（x）的圖象，
要使 有且僅有三個零點，
即函數g（x）=2a有且僅有三個零點，
則由圖象可知 ≤a＜ ，
綜上： ＜a≤ 或 ≤a＜ ，
所以答案是： ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的零點與方程根的關系的相關知識，掌握二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點．