Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2ax+a．
（1）若對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求實數a的值；
（2）若f（x）在區間[1，+∞）上為單調增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當x∈[﹣1，1]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函數f（x）的對稱軸為x=1，即a=1
（2）解：函數f（x）=x2﹣2ax+a的圖象的對稱軸為直線x=a．

y=f（x）在區間[1，+∞）上為單調遞增函數，得，a≤1

（3）解：函數圖象開口向上，對稱軸x=a，

當a＜0時，x=1時，函數取得最大值為：f（x）max=1﹣a．

當a＞0時，x=﹣1時，函數取得最大值為：f（x）max=1+3a．

當a=0時，x=±1時，函數取得最大值為：f（x）max=1

【解析】（1）由對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函數f（x）的對稱軸為x=1，即可得出a．（2）函數f（x）=x2﹣2ax+a的圖象的對稱軸為直線x=a．根據y=f（x）在區間[1，+∞）上為單調遞增函數，得a≤1．（3）函數圖象開口向上，對稱軸x=a，對a分類討論即可得出．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．