Question

用數學歸納法證明：對于大于1的任意自然數n，都有

1

12

+

1

22

+

1

32

…

1

n2

＜2-

1

n

成立．

Answer 1

分析：首先題目要求應用數學歸納法證明不等式，數學歸納法的一般步驟是，第一步驗證第一項是否成立，第二步假設n=k時候結論成立，去驗證n=k+1時候結論是否成立．若都成立即得證．

解答：證明：①當n=2時，結論成立；
②假設n=k（k＞1，k∈Z）時，不等式成立；
當n=k+1時，左邊 ＜2-

1

k

+

1

(k+1) 2

，
下證：2-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 2-

1

k+1

即證：

1

k+1

-

1

k

+

1

(k+1) 2

＜ 0，
即證

1

(k+1) 2

＜ 

1

k(k+1)

，?k+1＞k，這個是顯然成立的，
得結論成立，即當n=k+1時，不等式成立，
由①②根據歸納原理，不等式成立．
即得證．

點評：此題主要考查的是用數學歸納法證明不等式，屬于中檔題目，同學們做題的時候要注意分析題目要求切忌不能用別的方法證明．