Question

已知b_n=（1+1）（1+

1

2

）（1+

1

22

）…（1+

1

2n

），c_n=6（1-

1

2n

）．用數學歸納法證明：對任意n∈N^*，b_n≤c_n．

Answer 1

分析：先證明n=1時，結論成立，再證明當n=k+1時，結論成立，此時要利用歸納假設．

解答：證明：（1）當n=1時，b₁=（1+1）（1+

1

2

）=3，c₁=6（1-

1

2

）=3，所以b₁≤c₁成立．
（2）設當n=k時，有b_k≤c_k成立，即(1+1)(1+

1

2

)(1+

1

22

)…(1+

1

2k

)≤6(1-

1

2k

)
當n=k+1時，(1+1)(1+

1

2

)(1+

1

22

)…(1+

1

2k

)(1+

1

2k+1

)≤6(1-

1

2k

)(1+

1

2k+1

)
=6(1+

1

2k+1

-

1

2k

-

1

22k+1

)=6(1-

1

2k+1

-

1

22k+1

)＜6(1-

1

2k+1

)
即當n=k+1時，不等式也成立，
綜合（1）（2）可知原不等式成立．

點評：本題考查數學歸納法的運用，考查不等式的證明，正確運用數學歸納法的證題步驟是關鍵．