Question

用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數n，不等式(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

成立．

Answer 1

分析：當n=2時，代入不等式左右端，驗算可得證．再證明從k到k+1時，構造4k²+8k+4＞4k²+8k+3，向要證明的代數式轉化即可證明n=k時也成立，從而結論得證．

解答：證明：①當n=2時，左端=1+

1

3

=

4

3

，右端=

5

2

，又知

16

9

＞

5

4

，∴左端＞右端，即當n=2時有原不等式成立．
②假設當n=k時，有原不等式成立，即(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2k-1

)＞

2k+1

2

成立，
那么當n=k+1時，有(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2k-1

)(1+

1

2k+1

 )＞

2k+1

2

(1+

1

2k+1

)=

k+1

2k+1

又4k²+8k+4＞4k²+8k+3，∴4(k+1)2＞

2k+1

•

2k+3

即

k+1

2k+1

＞

2k+3

2

，即(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

對n=k時成立，
綜上，由①②知，對一切大于1的自然數n，不等式(1+

1

3

)(1+

1

5

)…(1+

1

2n-1

)＞

2n+1

2

成立．

點評：此題考查用數學歸納法證明不等式，數學歸納法證明關鍵在于注意從k到k+1中間的變化過程．