Question

【題目】定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M≥0，都有|f（x）|≤M 成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函f（x）的一個上界．已知函數f（x）=1+a+ ， g（x）= ．
（1）若函數g（x）為奇函數，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數g（x），在區間[ ， 3]上的所有上界構成的集合；
（3）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）∵函數g（x）為奇函數，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即=﹣．，
即=，得a=±1，而當a=1時不合題意，故a=﹣1．
（2）由（1）得：g（x）=，
∵函數g（x）=在區間（1，+∞）上單調遞增，
∴函數g（x）=在區間[，3]上單調遞增，
∴函數g（x）=在區間[，3]上的值域為[﹣2，﹣1]，
∴|g（x）|≤2，
故函數g（x）在區間[，3]上的所有上界構成集合為[2，+∞）．
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
∴﹣3≤f（x）≤3，
∴﹣4﹣≤a≤2﹣，
∴﹣42x﹣≤a≤22x﹣在[0，+∞）上恒成立．
設t=2x ， t≥1，h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，
則h′（t）=﹣4+＜0，p′（t）=2+＞0，
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增，
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=﹣5，p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
∴實數a的取值范圍為[﹣5，1]
【解析】（1）利用奇函數的定義，建立方程，即可求實數a的值；
（2）求出函數g（x）=在區間[ ， 3]上的值域為[﹣2，﹣1]，結合新定義，即可求得結論；
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，可得﹣42x﹣≤a≤22x﹣在[0，+∞）上恒成立，換元，求出左邊的最大值，右邊的最小值，即可求實數a的取值范圍．
【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義和函數奇偶性的性質是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲�；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．