Question

【題目】已知， 分別為橢圓： 的左、右焦點，點在橢圓上.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）設直線的斜率為，直線與橢圓交于， 兩點，若點在第一象限，且，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的最小值為; （Ⅱ）12.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）設，由向量數量積的坐標運算求得，注意橢圓中有，因此可得最小值；

（Ⅱ）由直線與圓錐曲線相交的弦長公式求得弦長，求出點坐標，再求得到直線的距離即三角形的高，從而得面積由基本不等式可得最大值．

試題解析：

（Ⅰ）有題意可知， ，

則， ，

∴，

∵點在橢圓上，∴，即，

∴（），

∴當時， 的最小值為．

（Ⅱ）設的方程，點， ，

由得，

令，解得．

由韋達定理得， ，

由弦長公式得，

由且，得．

又點到直線的距離，

∴ ，

當且僅當時，等號成立，

∴面積最大值為12.