Question

【題目】設橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足為線段的中點，且AB⊥。

（I）求橢圓C的離心率；

（II）若過A、B、三點的圓與直線：相切，求橢圓C的方程；

（III）在（I）的條件下，過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】分析：（Ⅰ）由題意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由題意可得過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r=

=2c，根據直線與圓相切可得，解得c=1，從而，，可得橢圓的方程．（Ⅲ）由條件可設直線MN的方程為，與橢圓方程聯立消元后得到一元二次方程，結合根據系數的關系可得MN的中點Q的坐標為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，由此得到，整理得，最后可求得．

詳解：（I）∵AB⊥AF2，為的中點，

∴

∵，

∴，

∴，

即橢圓C的離心率為．

（II）過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r==2c．

∵直線：相切，

∴，

解得c=1．

又，

∴，

∴．

∴橢圓C的方程為．

（III）由(I)知，F2(1，0)，直線MN的方程為，

由 消去y整理得

∵直線與橢圓C交于M，N兩點，

∴．

設M(，)，N(，)，

則

∴，

∴MN的中點Q的坐標為，

若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，

則,

∴

整理得，

∵，

∴，

∴．

∴．

故存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是(．