Question

如圖，在△ABC中，|

AB

|=3，|

AC

|=1，l為BC的垂直平分線且交BC于點D，E為l上異于D的任意一點，F為線段AD上的任意一點．
（1）求

AD

•（

AB

-

AC

）的值；
（2）判斷

AE

•（

AB

-

AC

）的值是否為一常數，并說明理由；
（3）若AC⊥BC，求

AF

•（

FB

+

FC

）的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據向量的平行四邊形法則，

AD

=

1

2

(

AB

+

AC

)，所以帶入即可求解．
（2）

AE

•(

AB

-

AC

)是否為常數，求出來看一下就可以了．將

AE

=

AD

+

DE

帶入即可，因為DE⊥BC，所以

DE

•(

AB

-

AC

)=

DE

•

CB

=0，這樣便能求出它的值了．
（3）因為

FB

+

FC

=2

FD

，所以

AF

•(

FB

+

FC

)=2

AF

•

FD

，這時候，

AF

與

FD

共線，且都可以用

AD

表示．設

AF

=λ

AD

，則

FD

=(1-λ)

AD

，所以帶入便得到2λ(1-λ)

AD

2，根據條件求出AD的長度即可．

解答： 解：（1）

AD

•(

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

+

AC

)(

AB

-

AC

)=

1

2

(

AB

2-

AC

2)=4=

1

2

(

AB

2-

AC

2)=4．
（2）

AE

•(

AB

-

AC

)=(

AD

+

DE

)•(

AB

-

AC

)=

AD

•(

AB

-

AC

)+

DE

•

CB

=4．
∴

AE

•(

AB

-

AC

)的值是一常數．
（3）∵AC⊥BC，|

AB

|=3，|

AC

|=1；
∴|

BC

|=2

2

，|

DC

|=

2

；
∴|

AD

|=

1+2

=

3

，設

AF

=λ

AD

，則

FD

=(1-λ)

AD

；
∴

AF

•(

FB

+

FC

)=λ

AD

•(2

FD

)=λ

AD

•[2(1-λ)

AD

]=6λ(1-λ)=-6(λ-

1

2

)2+

3

2

；
∴λ=

1

2

時，

AF

•(

FB

+

FC

)取最大值

3

2

．

點評：本題考查的知識點為：向量加法的平行四邊形法則，兩垂直向量的數量積為0，共線向量基本定理，并注意中線向量的應用．