【題目】定義行列式的運算如下：
，已函數
以下命題正確的是（ ）
①對
，都有
；②若
，對
，總存在非零常數了，使得
；③若存在直線
與
的圖象無公共點，且使的圖案位于直線兩側，此直線即稱為函數的分界線.則
的分界線的斜率的取值范圍是
；④函數
的零點有無數個.
A.①③④B.①②④
C.②③D.①④
【答案】D
【解析】
根據行列式的運算定義可得
，根據奇函數定義可判斷分段函數為奇函數，所以①正確；根據
的單調性和奇偶性可知不是周期函數，所以
不是周期函數，所以②錯誤；利用導數求出函數的過原點的切線的斜率，再根據的圖像的對稱性可得界線斜率的取值范圍應為
，故③錯誤；根據在區間
上單調遞減，
時，
，且
，可知
有無數個解，所以函數
的零點有無數個，④正確.
由題知,
當
時,
,所以 
，同理
時亦有
，所以①正確；
又時，
，
，
，為奇函數，知的增區間為
，
，減區間為
，，則不存在周期性，故不是周期函數，所以②錯誤；
當時，過原點作的切線，設切點為
，則切線斜率
，由此直線過原點得
，所以
，結合②中在區間上單調遞增；在區間上單調遞減，且時，，且，可得時，的分界線的斜率的取值范圍是，又為奇函數，可得時，的分界線的斜率的取值范圍是.所以分界線斜率的取值范圍應為，故③錯誤；
由上可知，在區間上單調遞減，時，，且，所以有無數個解，所以函數的零點有無數個，④正確.
故選：D.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，曲線
：
（α為參數）經過伸縮變換
得到曲線
，在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程；
（2）設點P是曲線上的動點，求點P到直線l距離d的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的側棱
與四棱錐
的側棱
都與底面
垂直，
，
，
，
，
，
.
（1）證明：
平面
；
（2）在棱
上是否存在點M，使平面
與平面
所成角的正弦值為
？如果存在，指出M點的位置；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，圓
，如圖，
分別交
軸正半軸于點
.射線
分別交于點
，動點
滿足直線
與
軸垂直，直線
與軸垂直.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過點
作直線
交曲線與點
，射線
與點
，且交曲線于點
.問：
的值是否是定值？如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
滿足奇數項
成等差，公差為
，偶數項
成等比，公比為
，且數列的前
項和為
，
，
.
若
，
.
①求數列的通項公式；
②若
，求正整數
的值；
若
，
，對任意給定的，是否存在實數
，使得
對任意
恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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