Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在區間上有唯一的極值點，求的取值范圍，并證明：.

Answer 1

【答案】（1）遞增區間是，遞減區間是；（2），見解析

【解析】

（1）當時，求出函數的定義域和導數，結合導數的取值的正負，即可求得函數的單調區間；

（2）求得，令，根據函數在區間上有唯一的極值點，得出在上有唯一的解，根據求得的范圍，再由由，得到，結合函數的單調性和最值，即可求解．

（1）由題意，函數，

當時，函數.

則，

令，即且，可得，

令，即，可得.

所以當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.

（2）由函數，則，

記，

因為在區間上有唯一的極值點，又，

根據二次函數的圖象分析可知，只需即可，即，解得，

所以實數的取值范圍是，

又由，可得，

所以，

又由函數，可得，

可得函數在上單調遞增，且，

所以.