Question

在三棱錐P-ABC中，△ABC為正三角形，∠PCA=90°，D為PA中點，二面角P-AC-B的大小為為120°，PC=2，AB=2

3

．
（1）求證：AC⊥BD；
（2）求BD與底面ABC所成的角，
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）欲證AC⊥BD，可證AC垂直于BD所在的平面，故取AC的中點E，并連接DE、BE，則問題得證．
（2）需確定∠DBE為BD與平面ABC所成角、∠BED為二面角P-AC-B的平面角，則在△BDE中兩次利用余弦定理問題解決．
（3）求出P到平面ABC的距離，利用錐體的體積公式，即可求三棱錐P-ABC的體積．

解答： （1）證明：取AC的中點E，并連接DE、BE，如圖所示，
因為D是PA中點，E是AC的中點，所以DE∥PC，
又∠PCA=90°，即PC⊥AC，所以DE⊥AC，
且正三角形ABC中，BE⊥AC，
所以AC⊥平面BDE，又BD?平面BDE，
所以AC⊥BD．
（2）解：在平面BDE中作EF⊥BE，交BD于F，且EF⊥AC，BE∩AC=E，
所以EF⊥平面ABC，則∠FBE即∠DBE為BD與平面ABC所成角，
其中DE=2×

1

2

=1，BE=2

3

sin60°=3，
由AC⊥平面BDE知，∠BED為二面角P-AC-B的平面角，即∠BED=120°，
由余弦定理得，BD²=1+9-2×1×3cos120°=13，即BD=

13

，
所以cos∠DBE=

9+13-1

2×3× 13

=

7 13

26

，
所以∠DBE=arccos

7 13

26

．
即BD與平面ABC所成角為arccos

7 13

26

．
（3）解：因為D為PA的中點，所以P到平面ABC的距離h=2DG=

3

，
所以V_P-ABC=

1

3

S△ABCh=

1

3

×

3

4

×(2

3

)2×

3

=3．

點評：本題考查線線垂直的判定、二面角的平面角及線面夾角的定義，同時考查余弦定理與空間想象能力，考查錐體體積的計算．