Question

【題目】如圖，在矩形ABCD和矩形ABEF中，，，矩形ABEF可沿AB任意翻折.

（1）求證：當點F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面ADF.

（2）“不管怎樣翻折矩形ABEF，線段MN總與線段FD平行”這個結論正確嗎？如果正確，請證明；如果不正確，請說明能否改變個別已知條件使上述結論成立，并給出理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）這個結論不正確.要使上述結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點，理由見解析

【解析】

（1）在平面圖形中，連接MN與AB交于點G，在平面圖形中可證，當點F，A，D不共線時，，，可證平面ADF，平面ADF，從而有平面平面ADF，即可證明結論；

（2）這個結論不正確.要使上述結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點.

當點F，A，D共線時，由（1）得；當點F，A，D不共線時，平面平面FDA，則要使，滿足FD與AN共面，只要FM與DN相交即可，可證交點只能為點B，得出只有M，N分別為AE，DB的中點才滿足.

（1）證明：在平面圖形中，連接MN，與AB交于點G.

∵四邊形ABCD和四邊形ABEF都是矩形，，

∴且，

∴四邊形ADBE是平行四邊形，∴.

又，∴四邊形ADNM是平行四邊形，∴.

當點F，A，D不共線時，如圖，，，

平面，平面，所以平面ADF，

同理平面ADF，又，

平面，∴平面平面ADF.

又平面GNM，∴平面ADF.

故當點F，A，D不共線時，線段MN總平行于平面FA D.

（2）解：這個結論不正確.

要使上述結論成立，M，N應分別為AE和DB的中點.理由如下：

當點F，A，D共線時，由（1）得.

當點F，A，D不共線時，如圖，

由（1）知平面平面FDA，則要使總成立，

根據面面平行的性質定理，只要FD與共面即可.

若要使FD與共面，連接FM，只要FM與DN相交即可，

∵平面ABEF，平面ABCD，

平面平面，

∴若FM與DN相交，則交點只能為點B，

由于四邊形為平行四邊形，與的交點為的中點，

則只有M，N分別為AE，DB的中點才滿足.

由，

可知它們確定一個平面，即F，D，N，M四點共面.

∵平面平面，

平面平面，

平面平面FDA，∴.