Question

【題目】某廠生產不同規格的一種產品，根據檢測標準，其合格產品的質量與尺寸x（mm）之間近似滿足關系式（b、c為大于0的常數）．按照某項指標測定，當產品質量與尺寸的比在區間內時為優等品．現隨機抽取6件合格產品，測得數據如下：

尺寸x（mm）	38	48	58	68	78	88
質量y (g)	16.8	18.8	20.7	22.4	24	25.5
質量與尺寸的比	0.442	0.392	0.357	0.329	0.308	0.290

（Ⅰ）現從抽取的6件合格產品中再任選3件，記為取到優等品的件數，試求隨機變量的分布列和期望；

（Ⅱ）根據測得數據作了初步處理，得相關統計量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（ⅰ）根據所給統計量，求y關于x的回歸方程；

（ⅱ）已知優等品的收益（單位：千元）與的關系為，則當優等品的尺寸x為何值時，收益的預報值最大？（精確到0.1）

附：對于樣本 ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），x=72.3

【解析】

由題意，首先確定的取值，然后求解相應的分布列和數學期望即可

結合題中所給的數據計算回歸方程即可

結合計算求得的回歸方程得到收益函數，討論函數的最值即可求得最終結果

（1）解：由已知，優等品的質量與尺寸的比在區間內，即

則隨機抽取的6件合格產品中，有3件為優等品，3件為非優等品

現從抽取的6件合格產品中再任選3件，則取到優等品的件數

， ，

，

的分布列為

（2）解：對（）兩邊取自然對數得，

令，得，且，

（ⅰ）根據所給統計量及最小二乘估計公式有，

-

，得，故

所求y關于x的回歸方程為

（ⅱ）由（�。┛芍�，，則

由優等品質量與尺寸的比，即 令，

當時，取最大值 -

即優等品的尺寸（mm），收益的預報值最大.