Question

【題目】已知數列是等差數列，數列是等比數列，且，的前n項和為.若對任意的恒成立.

（1）求數列，的通項公式；

（2）若數列滿足問：是否存在正整數，使得，若存在求出的值，若不存在，說明理由；

（3）若存在各項均為正整數公差為的無窮等差數列，滿足，且存在正整數，使得成等比數列，求的所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1），.（2）存在，的值為5和 .（3）或.

【解析】

（1）由題意可知，從而有，做差得到，代入基本量計算可求出數列，的通項公式. （2）討論為奇數和偶數兩種情況，分別代入求解計算. （3）設的公差為，則且，若，則肯定成立，只需討論時的情況即可.

（1）當時，，由，得；

由得①，當時有： ②，

由②-①得.

分別令可得：，.設的公差為，的公比為，

則 解得或

經檢驗符合條件，不合題意，舍去.

故，.

（2）

當是奇數時，由，可得，即，

所以，解得，

考慮到在正整數集上分別單調遞增和遞減，

故不存在其他解，即是惟一解.

當是偶數時，由可得：，

即，是偶數符合條件.

綜上的值為5和.

（3）由（1），設的公差為，則且，

當時，顯然成立；

當時，

所以，，

由，得，

即，

所以，

因為，所以，

即，

所以

故，

由，得，

從而要使，只要，

又，

綜上，.