Question

【題目】如圖，矩形中，，為的中點，現將與折起，使得平面及平面都與平面垂直.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）分別取的中點，由線面垂直性質定理可得，又三角形和全等，所以，四邊形為平行四邊形，根據線面平行的判定定理，即得證；

（2）以為原點，，為，正半軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出二面角的正弦值．

（1）如圖所示：

分別取，的中點，，連結，，，

則，，

平面與平面都與平面垂直，

平面，平面，

由線面垂直的性質定理得，

，四邊形是平行四邊形，，

平面，平面．

（2）如圖，以為原點，，為，正半軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，則，，平面的法向量，

設平面的法向量，

則，取，得．

設二面角的平面角為，由圖知為鈍角，

．

∴二面角的余弦值為，則正弦值為．