Question

【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點．

（1）求實數的取值范圍；

（2）設兩個極值點分別為，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求出，令，則，分和兩種情況討論

（2）由（1）可知，，所以，要證：，即證，然后構造函數即可.

（1）由題意可知，的定義域為 且

令

則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于

在區間內至少有兩個不同的零點

由可知，

當時，恒成立，即函數在上單調，不符合題意，舍去.

當時，由得，，即函數在區間上單調遞增；

由得，，即函數在區間上單調遞減；

故要滿足題意，必有 解得：

（2）證明：由（1）可知，，所以

故要證：

即證：

即證：不妨設，即證

構造函數： ，其中

由，所以函數在區間內單調遞減，

所以，原式得證.