Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面長為

2

，側棱長為1，則這個棱柱的側面對角線AB₁與BC₁所成角的余弦值等于

1

3

．

Answer 1

分析：通過作平行線把異面直線所成的角轉移到一個三角形中，利用解直角三角形求出三角形的三邊，然后利用余弦定理求解．

解答：解：如圖，

連結DC₁，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由AD∥B₁C₁，AD=B₁C₁，
所以四邊形ADC₁B₁為平行四邊形，則∠DC₁B對角線AB₁與BC₁所成角．
由題意求得DC1=BC1=

3

，DB=2．
所以cos∠DC1B=

DC12+BC12-DB2

2DC1•BC1

=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．
故答案為

1

3

點評：本題考查求異面直線角的能力，在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，訓練了利用余弦定理求角的余弦值，是中檔題．