Question

過橢圓Γ：＝1(a＞b＞0)右焦點F₂的直線交橢圓于A，B兩點，F₁為其左焦點，已知△AF₁B的周長為8，橢圓的離心率為.
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P，Q，且⊥？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）存在圓心在原點的圓x²＋y²＝滿足條件

(1)由已知得解得∴b²＝a²－c²＝1，
故橢圓Γ的方程為＋y²＝1.
(2)假設滿足條件的圓存在，其方程為x²＋y²＝r²(0＜r＜1)．
當直線PQ的斜率存在時，設其方程為y＝kx＋t，
由消去y整理得(1＋4k²)x²＋8ktx＋4t²－4＝0.
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.①
∵⊥，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.
又y₁＝kx₁＋t，y₂＝kx₂＋t，
∴x₁x₂＋(kx₁＋t)(kx₂＋t)＝0，
即(1＋k²)x₁x₂＋kt(x₁＋x₂)＋t²＝0.②
將①代入②得＋t²＝0，?
即t²＝ (1＋k²)．
∵直線PQ與圓x²＋y²＝r²相切，
∴r＝∈(0,1)，
∴存在圓x²＋y²＝滿足條件．
當直線PQ的斜率不存在時，也適合x²＋y²＝.
綜上所述，存在圓心在原點的圓x²＋y²＝滿足條件．