Question

如圖，橢圓＝1(a＞b＞0)的上，下兩個頂點為A，B，直線l：y＝－2，點P是橢圓上異于點A，B的任意一點，連接AP并延長交直線l于點N，連接PB并延長交直線l于點M，設AP所在的直線的斜率為k₁，BP所在的直線的斜率為k₂.若橢圓的離心率為，且過點A(0,1)．

(1)求k₁·k₂的值；
(2)求MN的最小值；
(3)隨著點P的變化，以MN為直徑的圓是否恒過定點？若過定點，求出該定點；如不過定點，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）4（3）恒過定點(0，－2±2)

(1)因為e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以橢圓C的標準方程為＋y²＝1.(2分)

設橢圓上點P(x₀，y₀)，有＋＝1，
所以k₁·k₂＝.(4分)
(2)因為M，N在直線l：y＝－2上，設M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，
由方程知＋y²＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，
所以K_BM·k_AN＝，(6分)
又由(1)知k_AN·k_BM＝k₁·k₂＝－，所以x₁x₂＝－12，(8分)
不妨設x₁＜0，則x₂＞0，則
MN＝|x₁－x₂|＝x₂－x₁＝x₂＋≥2＝4，
所以當且僅當x₂＝－x₁＝2時，MN取得最小值4.(10分)
(3)設M(x₁，－2)，N(x₂，－2)，
則以MN為直徑的圓的方程為
(x－x₁)(x－x₂)＋(y＋2)²＝0，(12分)
即x²＋(y＋2)²－12－(x₁＋x₂)x＝0，若圓過定點，
則有x＝0，x²＋(y＋2)²－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，
所以，無論點P如何變化，以MN為直徑的圓恒過定點(0，－2±2)．(16分)