Question

【題目】如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，，平面平面，且與棱分別交于三點．

（1）過作直線，使得，，請寫出作法并加以證明；

（2）若α將三梭錐P﹣ABC分成體積之比為8：19的兩部分（其中，四面體P1A1B1C的體積更小），D為線段B1tC的中點，求直線P1D與平面PA1B1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（1）取BC的中點H，連結AH，則直線AH即為要求的直線l；

（2）根據(jù)體積比得出P1A1=A1B1=2，將四棱錐分解成兩個小三棱錐計算體積．

詳解：（1）作法：取的中點，連接，則直線即為要求作的直線.

證明如下：∵，，且，∴平面.

∵平面平面，且平面，平面平面，

∴，

∴平面，∴.

又，為的中點，則，從而直線即為要求作的直線.

（2）∵將三棱錐分成體積之比為的兩部分，

∴四面體的體積與三棱錐的體積之比為，

又平面平面，∴.

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，

則，，，，，

，，，

設平面的法向量為，

則，即，

令，得.

則.

故直線與平面所成角的正弦值為.