Question

【題目】已知（且）在區間上的最大值與最小值之和為，，其中.

（1）直接寫出的解析式和單調性；

（2）若對恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設，若，使得對，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），減函數；（2）；（3）.

【解析】

（1）分和兩種情況討論函數在區間上單調性，得出，可解出實數的值，并判斷出函數的單調性；

（2）由，可得出對任意的實數恒成立，由參變量分離法得出，求出的取值范圍，即可得出實數的取值范圍；

（3）由題意可得，求出函數在區間上的最大值，然后分與的大小關系，求出函數在區間上最大值，然后解出不等式即可得出實數的取值范圍.

（1）當時，函數在區間上為增函數；

當時，函數在區間上為減函數.

由題意可得，即，

且，解得，，則函數為減函數；

（2）由（1）可得，由，即，即，即對任意的恒成立，即.

，，，因此，實數的取值范圍是；

（3）函數在區間上單調遞減，則.

由題意可得，.

二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線.

當時，且當時，，則，解得，此時；

當時，且當時，，則，解得，此時.

綜上所述，實數的取值范圍是.