Question

【題目】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,BC=BB1,∠BAC=∠BCA=∠ABC,點E是A1B與AB1的交點,點D在線段AC上,B1C∥平面A1BD.

(1)求證：BD⊥A1C；

(2)求證：AB1⊥平面A1BC。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先根據線面平行性質定理得B1C//ED，再根據等腰三角形性質得BD⊥AC，根據直棱柱性質得A1A⊥BD，最后根據線面垂直判定定理得結論，（2）根據菱形性質得AB1⊥A1B,再根據直棱柱性質得BC⊥BB1， 由AB⊥BC,根據線面垂直判定定理得BC⊥平面ABB1A.即得BC⊥AB1,最后根據線面垂直判定定理得結論.

試題解析：

(I)證明:連結ED,∵平面AB1C平面A1BD=ED，B1C//平面A1BD,

∴B1C//ED,.

∵E為AB1中點,∴D為AC中點;..

∵∠BAC=∠BCA=∠ABC,∴AB=BC,∴BD⊥AC,.

由A1A⊥平面ABC,BD平面ABC,得A1A⊥BD.

由及A1A、AC是平面A1ACC1內的兩條相交直線，

得BD⊥平面A1ACC1，

因為A1C平面AlACC1,故BD⊥A1C

(Ⅱ)由（Ⅰ）知AB=BC,AB⊥BC,.

∵BB1=BC，∴四邊形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B,.

∵BB1⊥平面ABC,BC平面ABC.∴BC⊥BB1.

∵ABBB1=B,AB,BB1平面ABB1A1.∴BC⊥平面ABB1A..

∵AB1平面ABB1A1,∴BC⊥AB1,....

∵BCA1B=B,BC,A1B平面A1BC,∴AB1⊥平面A1BC.

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.