Question

【題目】已知函數（a＞0）．

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）證明：對任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

(1)對函數求導，分情況討論導函數的正負，進而得到單調區間；（2）構造函數，對函數求導，研究函數的單調性，得到函數的最值，證明函數的最大值小于0即可.

（1）解：．

①當0＜a≤1時，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，

解得；

由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．

故函數f（x）的單調遞減區間為（0，），單調遞增區間為（，＋∞）．

②當a＞1時，由f'（x）＜0，得或；

由f'（x）＞0，得．

故函數f（x）的單調遞減區間為（0，），（，＋∞），單調遞增區間為．

（2）證明：構造函數，

則．

因為Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，

所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．

故g（x）在區間[1，＋∞）上是減函數．

又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．

故對任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．