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如圖：⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，⊙O交y軸于點N， $數學公式$ ∥ $數學公式$ ．且 $數學公式$ ．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設F₁（0， $數學公式$ ）、F₂（0，- $數學公式$ ），若過F₁的直線交（I）中曲線C于A、B兩點，求 $數學公式$ 的取值范圍．

解：（I）設P（x₀，y₀），M（x，y），
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ …（3分）
∵⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，
∴x₀²+y₀²=4
∴ $\text{[math]}$
∴點M的軌跡C的方程為 $\text{[math]}$ …（5分）
（II）①當直線AB的斜率不存在時，顯然 $\text{[math]}$ =-4； …（6分）
②當直線AB的斜率存在時，不妨設AB的方程為：y=kx+ $\text{[math]}$ 與橢圓方程聯立，消去y可得（9+4k²）x²+8 $\text{[math]}$ kx-16=0
不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（1+k²）x₁x₂+2 $\text{[math]}$ k（x₁+x₂）+20=（1+k²）× $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ k× $\text{[math]}$ +20=-4+ $\text{[math]}$ …（10分）
∵9+4k²≥9，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（11分）
綜上所述， $\text{[math]}$ 的范圍是 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）利用 $\text{[math]}$ ，確定P，M坐標之間的關系，利用⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，即可求得點M的軌跡C的方程；
（II）①當直線AB的斜率不存在時，顯然 $\text{[math]}$ =-4；②當直線AB的斜率存在時，設AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可得到結論．
點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理進行求解．

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•

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