Question

如圖：⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，點D在x軸上，點M在DP延長線上，⊙O交y軸于點N，

DP

∥

ON

．且

DM

=

3

2

DP

．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）設F₁（0，

5

）、F₂（0，-

5

），若過F₁的直線交（I）中曲線C于A、B兩點，求

F2A

•

F2B

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用

DM

=

3

2

DP

，確定P，M坐標之間的關系，利用⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，即可求得點M的軌跡C的方程；
（II）①當直線AB的斜率不存在時，顯然

F2A

•

F2B

=-4；②當直線AB的斜率存在時，設AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及向量知識，即可得到結論．

解答：解：（I）設P（x₀，y₀），M（x，y），
∵

DM

=

3

2

DP

，∴

y= 3 2 y0 x=x0

，∴

y0= 2 3 y x0=x

…（3分）
∵⊙O方程為x²+y²=4，點P在圓上，
∴x₀²+y₀²=4
∴

x2

4

+

y2

9

=1  
∴點M的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

9

=1     …（5分）
（II）①當直線AB的斜率不存在時，顯然

F2A

•

F2B

=-4；   …（6分）
②當直線AB的斜率存在時，不妨設AB的方程為：y=kx+

5

與橢圓方程聯立，消去y可得（9+4k²）x²+8

5

kx-16=0
不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

-8 5 k

9+4k2

，x₁x₂=

-16

9+4k2

∴

F2A

•

F2B

=（1+k²）x₁x₂+2

5

k（x₁+x₂）+20=（1+k²）×

-16

9+4k2

+2

5

k×

-8 5 k

9+4k2

+20=-4+

200

9+4k2

  …（10分）
∵9+4k²≥9，∴0＜

200

9+4k2

≤

200

9

∴-4＜-4+

200

9+4k2

≤

164

9

∴-4＜

F2A

•

F2B

-4≤

164

9

       …（11分）
綜上所述，

F2A

•

F2B

的范圍是[-4，

164

9

]   …（12分）

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理進行求解．