Question

選修4-5不等式選講
（1）已知x，y，z∈R，且x²+y²+z²=1，求2x+3y+4z的最小值；
（2）解關于x的不等式：|2x+1|+|x+2|＞5．

Answer 1

分析：（1）分析題目已知x²+y²+z²=1，求2x+3y+4z的最大值．考慮到應用柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²），首先構造出柯西不等式求出（2x+3y+4z）²的最大值，開平方根即可得到答案．
（2）可令f（x）=|x-5|-|2x+3|，再將其解析式變化成分段函數的形式，分段解不等式，將所得的結果并起來，得到絕對值不等式的解集．

解答：解：（1）因為已知x²+y²+z²=1根據柯西不等式（ax+by+cz）²≤（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）構造得：
即（2x+3y+4z）²≤（x²+y²+z²）（2²+3²+4²）≤1×29=29
故2x+3y+4z≤

29

．當且僅當

x

2

=

y

3

=

z

4

時取等號．
則2x+3y+4z的最大值是

29

．
故答案為：

29

．
（2）解：f（x）=|2x+1|+|x+2|=

-3x-3，x≤-2 1-x，-2≤x≤- 1 2 3x+3，x＞ 1 2

，
當x＜-2時，由-3x-3＞5 可得  x＜-

8

3

，解得 x＜-

8

3

．
當-2≤x≤-

1

2

時，由1-x＞5，可得 x＜-4，不等式無解．
當 x＞-

1

2

時，由3x+3＞5 可得 x＞

2

3

，解得x＞

2

3

．
綜上可得  x＜-

8

3

或x＞

2

3

．
故不等式的解集為：{x|x＜-

8

3

或 x＞

2

3

}．

點評：（1）此題主要考查柯西不等式的應用問題，對于此類題目有很多解法，但大多數比較繁瑣，而用柯西不等式求解非常簡練，需要同學們注意掌握．
（2）本題考察絕對值不等式的解法，解題的關鍵是將絕對值不等式轉化，即去掉絕對值號轉化為不含有絕對值的不等式，進行求解，轉化的方法一般有二，一是平方的方法，此法不適合本題，因為得兩次平方才能去掉絕對值號，二是分類討論法，本題采取了這種方法，將絕對值不等式轉化為三個一次不等式求解，根據題設條件選擇恰當的方法對順利解題的很重要．