Question

已知點P是直角坐標平面xOy上的一個動點，|OP|=

2

（點O為坐標原點），點M（-1，0），則cos∠OPM的取值范圍是

[

2

2

，1]

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y），表示出

PO

=（-x，-y），

PM

=(-1-x，-y)．利用向量夾角的坐標表示建立cos∠OPM關(guān)于x的函數(shù)表達式，求出函數(shù)值域即可．

解答：解：由題意可知，點P的軌跡是以原點O為圓心，

2

為半徑的圓．
設(shè)P（x，y），

PO

=（-x，-y），

PM

=(-1-x，-y)
cos∠OPM=

PO • PM

| PO |×| PM |

=

1+x2+y2

x2+y2 × (-1-x)2+(-y)2

=

2+x

2 × 3+2x

令

6+4x

=t，則x=

t2-6

4

，則y=

t2+2

4t

≥

2 2 t

4t

=

2

2

，即cos∠OPM的最小值為

2

2

當(dāng)點P在x軸時，∠OPM=0，cos∠OPM=1．
故答案為：[

2

2

，1]

點評：本題考查向量夾角求解，函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式．