Question

已知點P是直角坐標平面內的動點，點P到直線l₁：x=-2的距離為d₁，到點F（-1，0）的距離為d₂，且

d2

d1

=

2

2

．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B（點A或B不在x軸上），分別過A、B點作直線l₁：x=-2的垂線，對應的垂足分別為M、N，試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關系（指在圓內、圓上、圓外等情況）；
（3）記S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），問是否存在實數λ，使

S

2 2

=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標，利用已知條件列出方程求解求動點P所在曲線C的方程；
（2）利用直線l與橢圓的故選列出方程，求出兩個坐標的關系，通過點與圓的位置關系，可以比較點到圓心的距離與半徑的大小來判斷，也可以計算點與直徑形成的張角是銳角、直角、鈍角來加以判斷．
（3）利用弦長公式兩點距離公式，求出S₁=S_△FAM，S₂=S_△FMN，S₃=S_△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），使

S

2 2

=λS1S3成立．求出λ的值即可．

解答：解　（1）設動點為P（x，y），依據題意，有

(x+1)2+y2

|x+2|

=

2

2

，化簡得

x2

2

+y2=1．              …（3分）
因此，動點P所在曲線C的方程是：

x2

2

+y2=1．              …（4分）
（2）點F在以MN為直徑的圓的外部．
理由：由題意可知，當過點F的直線l的斜率為0時，不合題意，故可設直線l：x=my-1，如圖所示．                           （5分）
聯立方程組

x2 2 +y2=1 x=my-1

，可化為（2+m²）y²-2my-1=0，
則點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標滿足

y1+y2= 2m 2+m2 y1y2=- 1 2+m2

．                         （7分）
又AM⊥l₁、BN⊥l₁，可得點M（-2，y₁）、N（-2，y₂）．
因

FM

=(-1，y1)，

FN

=(-1，y2)，則

FM

•

FN

=(-1，y1)•(-1，y2)=1+y1y2=

1+m2

2+m2

＞0．（9分）
于是，∠MFN為銳角，即點F在以MN為直徑的圓的外部．                 （10分）
（3）依據（2）可算出x1+x2=m(y1+y2)-2=-

4

2+m2

，x1x2=(my1-1)(my2-1)=

2-2m2

2+m2

，
則  S1S3=

1

2

(x1+2)|y1|•

1

2

(x2+2)|y2|=

1

4

•

1

2+m2

[x1x2+2(x1+x2)+4]=

1

2

1+m2

(2+m2)2

，

S

2 2

=(

1

2

|y1-y2|•1)2=

1

4

[(y1+y2)2-4y1y2]=2

1+m2

(2+m2)2

．              （15分）
所以，

S

2 2

=4S1S3，即存在實數λ=4使得結論成立．            （16分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系與直線與圓的位置關系的判斷，三角形的面積公式的應用，向量數量積的應用，考查計算能力，轉化思想．