Question

定義在（0，+∞）上的函數f(x)=px

1

p

-x(p∈Q，且p＞1)．
（1）求函數f（x）的最大值；（2）對于任意正實數a、b，設

1

p

+

1

q

=1，證明：ab≥

ap

p

+

bq

q

．

Answer 1

（1）f′(x)=x

1

p

-1-1．∵

1

p

-1＜0，∴由f'（x）=0，得x=1．
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大	↘

又f（1）=p-1，所以f（x）≤f（1），即f（x）的最大值為p-1．
（2）由（1）得px

1

p

-x-p+1≤0．
設x=

ap

bq

，則p•

a

b q p

-

ap

bq

-p+1≤0，即

a

b q p

-

1

p

•

ap

bq

-1+

1

p

≤0，
∴

a

b q p

-

1

p

•

ap

bq

≤1-

1

p

=

1

q

，
∴

a

b q p

≤

1

p

•

ap

bq

+

1

q

∴abq-

q

p

≤

ap

p

+

bq

q

，
將

1

p

+

1

q

=1代入，得ab≤

ap

p

+

bq

q

．