Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，過對角線BD₁ 的一個平面交AA₁ 于M，交CC₁ 于N．給出下列四個結論：
①四邊形BMD₁N一定是平行四邊形；
②四邊形BMD₁N有可能是正方形；
③四邊形BMD₁N 在底面ABCD內的投影一定是正方形；  
④平面BMD₁N 有可能垂直于平面BB₁D₁D．
其中正確的有

 

（寫出所有正確結論的序號．）

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：根據面面平行和正方體的幾何特征進行判斷，利用一些特殊情況進行說明．

解答： 解：如圖：
①由平面BCB₁C₁∥平面ADA₁D₁，并且B、E、F、D₁四點共面，
∴ED₁∥BF，同理可證，FD₁∥EB，故四邊形BFD₁E一定是平行四邊形，故①正確；
②若BFD₁E是正方形，有ED₁⊥BE，這個與A₁D₁⊥BE矛盾，故②錯誤；
③由圖得，BFD₁E在底面ABCD內的投影一定是正方形ABCD，故③正確；
④當點E和F分別是對應邊的中點時，平面BFD₁E⊥平面BB₁D₁，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查了正方體的幾何特征，利用面面平行和線線垂直，以及特殊情況進行判斷，考查了空間信息能力和邏輯思維能力．