Question

a，b＞0，a+b=4，則（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²的最小值是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：不等式

分析：因為a+b=4，所以(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=a2+b2+

1

a2

+

1

b2

+4=（a²+b²）+

1

16

(a+b)2(

1

a2

+

1

b2

)+4=（a²+b²）+

1

16

(

2b

a

+

2a

b

+

b2

a2

+

a2

b2

+2)+4．因為a2+b2≥2ab，

2b

a

+

2a

b

≥4，

b2

a2

+

a2

b2

≥2，并且都是a=b時取“=”，所以此時a=b=2，所以便得到(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2的最小值為

25

2

．

解答： 解：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=a2+b2+

1

a2

+

1

b2

+4=(a2+b2)+

1

16

(a+b)2(

1

a2

+

1

b2

)+4=(a2+b2)+

1

16

(

2b

a

+

2a

b

+

b2

a2

+

a2

b2

+2)+4；
∵a2+b2≥2ab，

2b

a

+

2a

b

≥4，

b2

a2

+

a2

b2

≥2，都是a=b時取“=”；
∵a+b=4，∴此時a=b=2；
∴(a2+b2)+

1

16

(

2b

a

+

2a

b

+

b2

a2

+

a2

b2

)+48+

1

16

(4+2+2)+4=

25

2

；
∴(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2的最小值是

25

2

；
故答案為：

25

2

．

點評：考查基本不等式：a2+b2≥2ab，a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，的運用，并注意等號成立的條件．