Question

已知點F（0，2）是拋物線x²=ay的焦點．
（1）求拋物線方程；
（2）若點P（x₀，y₀）為圓x²+y²=1上一動點，直線l是圓在點P處的切線，直線l與拋物線相交于A，B兩點（A，B在y軸的兩側），求平面圖形OAFB面積的最小值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用點F（0，2）是拋物線x²=ay的焦點，求出a，即可求拋物線方程；
（2）確定0＜y₀＜1，|x₁-x₂|≥4

2

，即可求平面圖形OAFB面積的最小值．

解答： 解：（1）∵點F（0，2）是拋物線x²=ay的焦點，
∴a=8，
∴拋物線方程為x²=8y…．（2分）
（2）聯立直線l與拋物線方程可得y₀x²+8x₀x-8=0，
由題意可得-

8

y0

＜0，故0＜y₀＜1，…..（8分）
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x₁+x₂=

-8x0

y0

，x₁x₂=-

8

y0

，且x₀²+y₀²=1，…（10分）
∴|x₁-x₂|²=

64x02

y02

+

32

y0

=32[2(

1

y0

+

1

4

)2-

17

8

]≥32，…．（14分）
當且僅當y₀=1時取“=”，
∴|x₁-x₂|≥4

2

，
∴S=

1

2

|OF||x₁-x₂|≥4

2

，…..（15分）
即平面圖形OAFB面積的最小值為4

2

，…..（16分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．