Question

【題目】關于函數，下列說法正確的是( )

（1）是的極小值點；

（2）函數有且只有1個零點；

（3）恒成立；

（4）設函數，若存在區間，使在上的值域是，則.

A.(1) (2)B.(2)(4)C.(1) (2) (4)D.(1)(2)(3)(4)

Answer 1

【答案】C

【解析】

對于（1），對函數求導，得出函數的單調性，可判斷；

對于（2）令，對其求導，得出其單調性，且可得出當時,可判斷；

對于（3），令，對其求導，得出其單調性，取特殊函數值，可判斷；

對于（4），對函數求導可得，分析判斷出在上單調遞增，也即是，在單調遞增，將已知條件轉化為 在上至少有兩個不同的正根,可得，令 對求導，分析的單調性，可得出的范圍，可判斷命題.

對于（1），由題意知,，令得，所以函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增，

所以是的極小值點,故（1）正確;

對于（2）令，則.函數在上單調遞減, 又當時,，

所以函數有且只有1個零點，故（2）正確；

對于（3），令，則，

所以函數在單調遞減，且，所以函數在內不是恒成立的，

所以不是恒成立的，故（3）不正確；

對于（4），因為，所以，

令，則，所以當時，，

所以在上單調遞增，且，所以當時，，

所以在上單調遞增，也即是，在單調遞增，

又因為在上的值域是，所以 ,

則 在上至少有兩個不同的正根, 則，

令求導得

令，則，所以 在上單調遞增，且，

所以當時， ，當時，，

所以在是單調遞減，在上單調遞增，所以，而

所以，故（4）正確；

所以正確的命題有：（1）（2）（4），

故選：C.