Question

【題目】已知橢圓：（）的左右焦點分別為，，點在橢圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）點P，Q在橢圓上，O為坐標原點，且直線，的斜率之積為，求證：為定值；

（3）直線l過點且與橢圓交于A，B兩點，問在x軸上是否存在定點M，使得為常數？若存在，求出點M坐標以及此常數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）20； （3），.

【解析】

(1)由點T在橢圓上且，可得，求得，點代入橢圓方程可求得b，從而得到橢圓的標準方程；(2) 設直線：，聯立方程組 ，求出，同理求出由此能證明為定值；(3) 當直線l與x軸不垂直時，設l：，由得，推出，當l與x軸垂直時，l：，，，從而.

（1）因為點T在橢圓上且，所以，；

將點代入橢圓得，解得，

∴橢圓的方程為.

（2）設直線：，聯立方程組，得，

所以，

又直線：，類似的可得

故而，為定值；

（3）當直線l與x軸不垂直時，設l：，設，，，

由得

又，

令得，此時，

當l與x軸垂直時，l：，，，又，有，

綜上，，.