Question

已知函數（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ） 記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點，如果在曲線C上存在點M（x，y），使得：①；②曲線C在M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．
試問：函數f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據對數函數的定義求得函數的定義域，再根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，然后分別令導函數大于0和小于0得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相應的x的范圍即分別為函數的遞增和遞減區間；
（II）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據斜率公式求出直線AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是（0，+∞）．…（1分）
由已知得，．…（2分）
（1）當a＞0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1．
所以函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．…（3分）
（2）當a＜0時，
①當時，即a＜-1時，令f'（x）＞0，解得或x＞1；
令f'（x）＜0，解得．
所以，函數f（x）在和（1，+∞）上單調遞增，在上單調遞減；…（4分）
②當時，即a=-1時，顯然，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增； …（5分）
③當時，即-1＜a＜0時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；
令f'（x）＜0，解得．
所以，函數f（x）在（0，1）和上單調遞增，在上單調遞減．…（6分）
綜上所述，（1）當a＞0時，函數f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
（2）當a＜-1時，函數f（x）在和（1，+∞）上單調遞增，在上單調遞減；
（3）當a=-1時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（4）當-1＜a＜0時，函數f（x）在（0，1）和上單調遞增，在上單調遞減．…（7分） 
（Ⅱ）假設函數f（x）存在“中值相依切線”．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線y=f（x）上的不同兩點，且0＜x₁＜x₂，
則，．
=
=…（8分）
曲線在點M（x，y）處的切線斜率k=f'（x）==，…（9分）
依題意得：=．
化簡可得：=，
即==．…（11分）
設（t＞1），上式化為：，
即．…（12分）
令，=．
因為t＞1，顯然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內不存在t，使得成立．
綜上所述，假設不成立．所以，函數f（x）不存在“中值相依切線”．…（14分）
點評：此題考查學生會利用導函數的正負求出函數的單調區間，靈活運用中點坐標公式化簡求值，掌握反證法進行命題證明的方法，是一道綜合題，屬難題．