Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函數f（x）的導函數f′（x）的最小值；
（II）當a=3時，求函數h（x0的單調區間及極值；
（III）若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函數h（x）滿足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數的導函數，利用基本不等式求出函數的最小值，驗證等號何時取得．
（II）將a的代入h（x），求出導函數，列出x，h′（x），h（x）的變化如下表，求出極值．
（III）構造新函數令F(x)=h(x)+x=h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax+x，通過函數F（x）在（0，+∞）單調遞增令導函數大于0恒成立，根據二次函數的圖象，只需判別式小于等于0，求出a的范圍．

解答：解：（I）f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，其中x＞0．
因為a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+

a-1

x

-3≥2

a-1

-3，
當且僅當x=

a-1

時取等號，其最小值為2

a-1

-3．…（4分）
（II）當a=3時，h(x)=

1

2

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	遞增	- 5 2	遞減	2ln2-4	遞增

所以，函數h（x）的單調增區間是（0，1），（2，+∞）；單調減區間是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1處取得極大值-

5

2

，在x=2處取得極小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由題意h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax(a＞0)．
不妨設x₁＜x₂，則

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．…（12分）
令F(x)=h(x)+x=h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax+x，則函數F（x）在（0，+∞）單調遞增．
F′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+a-1

x

≥0在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因為G(0)=a-1＞0，

a-1

2

＞0，因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求實數a的取值范圍1＜a≤5．…．（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性．利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是．教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．