Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函數f（x）的導函數f′（x）的最小值；
（II）當a=3時，求函數h（x）的單調區間及極值；
（III）若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函數h（x）滿足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，知f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，x＞0，由此能求出導函數f′（x）的最小值．
（II）當a=3時，h（x）=

1

2

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

，由此列表討論能求出函數h（x）的單調區間及極值．
（III）由題意，h（x）=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax，（a＞1）．設x₁＜x₂，由

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂，構造函數F（x）h（x）+x=

1

2

x2+(a-1)x-ax+x，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，
∴f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，x＞0，
∵a＞1，∴a-1＞0，
又∵x＞0，∴x+

a-1

x

-3≥2

a-1

-3，
當且僅當x=

a-1

時，取等號，其最小值為2

a-1

-3．
（II）當a=3時，h（x）=

1

2

x2+2lnx-3x，
h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

，
x，h′（x），h（x）的變化如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	- 5 2	↓	2ln2-4	↑

所以，函數h（x）的單調增區間是（0，1），（2，+∞）；單調減區間是（1，2）．…（7分）
函數h（x）在x=1處取得極大值-

5

2

，在x=2處取得極小值2ln2-4．…（8分）
（III）由題意，h（x）=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax，（a＞1）．
不妨設x₁＜x₂，則由

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，
得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂，
令F（x）h（x）+x=

1

2

x2+(a-1)x-ax+x，
則函數F（x）在（0，+∞）單調遞增，
F′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+a-1

x

≥0在（0，+∞）恒成立，
∵G（0）=a-1＞0，

a-1

2

＞0，
∴只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0，
解得1＜a＜5，
∴實數a的取值范圍是（1，5）．

點評：本題考查函數的最小值的求法，考查函數的單調區間和極值，考查實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意等價轉化思想和分類討論思想的合理運用．