Question

設函數f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設A，B，C為△ABC的三個內角，若cosB=

1

3

，f（

c

2

）=-

1

4

，且C為銳角，求sinA．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）首先化簡函數f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x，然后根據正弦函數的最大值是1，最小值是-1，求出函數f（x）的最大值，進而求出它的最小正周期即可；
（Ⅱ）首先根據f（x）的解析式，f（

c

2

）=-

1

4

，求出角C的正弦值，進而求出角C的大��；然后求出角B的正弦、余弦，最后根據兩角和的正弦公式，求出sinA的值即可．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

π

3

）+sin²x=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
所以當sin2x=-1時，函數f（x）的最大值為

1+ 3

2

，
它的最小正周期為：

2π

2

=π；
（2）因為f(

c

2

)=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，
所以sinC=

3

2

，
又因為C為銳角，
所以C=

π

3

；
又因為在△ABC 中，cosB=

1

3

，
所以  sinB=

2

3

3

，
所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

2

3

3

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

3

2

．

點評：本題主要考查了三角函數的最值以及最小正周期的求法，屬于基礎題．